大气科学  2018, Vol. 42 Issue (1): 209-226   PDF    
建立η坐标系下的假不压模式及其数值试验
胡文豪1,2, 孙继明2,3,4     
1 成都信息工程大学大气科学学院/高原大气与环境四川省重点实验室, 成都 610225
2 中国科学院大气物理研究所云降水物理与强风暴重点实验室, 北京 100029
3 中国科学院大学, 北京 100049
4 南京信息工程大学大气物理学院气象灾害预报预警与评估协同创新中心, 南京 210044
摘要: 滤除声波的大气运动方程中不包含声波,基于滤除声波方程建立的数值模式可以用较大的时间步长进行数值积分。Durran在1989年提出了一种新的滤除声波的方法,命名为“假不可压”方程,该方程考虑了温度扰动引起的密度变化,忽略了气压扰动引起的密度变化。本文根据Durran提出的假不可压理论,推导出了一组地形追随坐标下的通量形式的假不可压方程。该方程在形式上与WRF(Weather Research and Forecasting)模式中ARW(Advanced Research WRF)动力框架的控制方程非常接近。我们进一步将推导出的假不可压控制方程改写到了WRF模式中,建立了基于WRF模式框架的假不可压模式。用构建的假不可压模式和WRF模式做了两组对比试验:湿热泡对流试验和重力流试验。比较两种模式的模拟结果,可以看出假不可压模式的模拟结果与WRF模式的模拟结果非常接近,说明在WRF模式框架下建立的假不可压模式是合理可信的。
关键词: 滞弹性模式      假不可压模式      完全可压模式     
A Pseudo-incompressible Model in the η Coordinate and Its Numerical Experiments
HU Wenhao1,2, SUN Jiming2,3,4     
1 School of Atmospheric Sciences/Plateau Atmosphere and Environment Key Laboratory of Sichuan Province, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225
2 Key Laboratory of Cloud-Precipitation Physics and Severe Storms, Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029
3 University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049
4 Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters, Nanjing University of Information Science & amp; Technology, Nanjing 210044
Abstract: Soundproof equations do not contain acoustic waves, which is why numerical models based on soundproof equations can use relatively lager timesteps for numerical integration.Durran proposed a new method to eliminate acoustic waves in 1989 and named it "pseudo-incompressible" equations, which retain the air density variations caused by temperature perturbations but ignore the density variations caused by pressure perturbations.In this paper, the authors followed the pseudo-incompressible theory and derived a set of flux-form pseudo-incompressible equations in the terrain-following coordinate.The form of the set of equations the authors derived is quite similar to that of the equations in the ARW (Advanced Research WRF) dynamic solver of the WRF (Weather Research and Forecasting) model.The authors further modified the codes of WRF model according to the flux-form pseudo-incompressible equations, and thus established the "pseudo-incompressible model" based on the frame of WRF model.The authors then conducted two sets of numerical experiments, i.e.a heat-bubble convection experiment and a gravity current experiment, using the pseudo-incompressible model and WRF model, respectively.Comparing the results of these simulations, the authors found that the meteorological fields simulated by the pseudo-incompressible model are quite close to those by the WRF model, which indicates that the pseudo-incompressible model we built within the frame of WRF model is reliable.
Key words: Anelastic model      "Pseudo-incompressible" model      Compressible model     
1 引言

大气中包含多种波动,其中传播速度最快的是声波。对于预报方程采用显式时间差分方案的大气数值模式而言,模式的最大积分时间步长会受到传播速度最快的波动——声波的限制(Durran and Blossey, 2012)。由于声波没有显著的气象意义,为了避免声波对积分时步的限制,部分数值模式会采用滤除声波的控制方程组。在大气控制方程中滤除声波是指在一定的假设条件下,对大气控制方程做一定的简化和近似,滤除声波并保留具有气象意义的波动。模式中常用的滤除声波的控制方程有包辛尼斯克方程、滞弹性方程(Ogura and Phillips, 1962; Wilhelmson and Ogura, 1972; Lipps and Hemler, 1982; Bannon, 1996)和假不可压方程(Durran, 1989, 2008)。

包辛尼斯克近似忽略了连续方程中的密度个别变化项,从而使连续方程简化为了风场无辐散形式的诊断方程。包辛尼斯克近似仅适用于垂直尺度小于大气标高的大气运动,在描述深对流时,由于未考虑层结密度随高度的变化,则会产生较大误差。为了解决上述问题,滞弹性近似引入了一种新形式的连续方程,适用于研究深对流运动。

滞弹性方程组的构建可以追溯到1953年,Batchelor(1953)基于“密度和气压的分布与绝热分层的大气中的密度和气压分布接近”的假设给出了一组简化的控制方程,这就是最早的滞弹性方程组。Ogura and Phillips(1962)通过严格的尺度分析也得到了同样形式的大气控制方程组,并命名为“滞弹性”方程组。Dutton and Fichtl(1969)拓展了包辛尼斯克近似,使其适用于研究可压缩流体中的深对流运动。Gough(1969)在滞弹性方程中考虑了分子输送和辐射传输过程。Wilhelmson and Ogura(1972)Ogura and Phillips(1962)工作的基础上详细分析了气压扰动对饱和水汽压的影响。Lipps and Hemler(1982)假设位温的基本态随高度缓慢变化,利用尺度分析得到了描述湿深对流的滞弹性方程组。随后,Lipps(1990)改进了Lipps and Hemler(1982)推导滞弹性方程组的过程,不再参考两个经验参数,使结果更加客观可信。Bannon(1996)建立了包含水汽和相变过程的能量守恒的湿滞弹性方程组。

Durran(1989)提出了一种新的滤除声波的动力学方程组,命名为“假不可压方程”,并成功用于构建数值模式。随后,Almgren et al.(2008)O’Neill and Klein(2014)拓展了Durran(1989)的工作,前者建立了包含源汇项的假不可压模式,后者建立了包含水物质的假不可压模式。假不可压近似成立的条件有两个:一是扰动的拉格朗日时间尺度远大于声波传播的时间尺度,二是扰动气压远小于平均状态的气压。从物理意义上来看,假不可压近似的质量平衡中部分考虑了密度扰动的影响,即考虑与温度场扰动相关的密度扰动,而忽略与气压扰动相关的密度扰动。而在滞弹性近似中,密度扰动对质量平衡的影响则被完全忽略了。Smolarkiewicz and Dörnbrack(2008)以及Achatz et al.(2010)认为假不可压近似的动力场比滞弹性近似的动力场更接近完全可压缩大气。Nance and Durran(1994)认为假不可压系统的准确性高于滞弹性系统,Klein(2009)也证实了这一点。由此可见,假不可压近似比滞弹性近似更接近真实大气。此外,从成立条件来看,假不可压方程不涉及对扰动位温的量级的假设,而滞弹性方程需要,这使得假不可压近似的适用范围更广。综上所述,假不可压方程比滞弹性方程的准确性更高,适用范围更广,更适合用于构建数值预报模式。

WRF(Weather Research and Forecasting)模式广泛用于数值预报和研究,拥有成熟的平流方案和微物理模块。WRF模式ARW(Advanced Research WRF)动力框架采用了地形追随坐标系(η坐标系),可以简化复杂地形的下边界条件,能够较好地处理复杂地形问题。本文选取WRF-ARW动力框架作为模式的框架基础,用假不可压近似(Durran, 1989)改写模式的控制方程组,建立了基于ARW动力框架的假不可压模式。

本文将给出假不可压模式的建立过程,之后采用相同的试验设计方案,用假不可压模式与WRF模式,分别进行湿热泡对流试验和重力流流理想试验,并对两种模式的模拟结果进行分析和比较。

2 假不可压控制方程的建立

Durran提出的“假不可压方程”与完全可压的方程的核心区别在于连续方程的形式不同。在“假不可压方程”中,连续方程的形式如下:

$ \frac{{{\rm{d}}{\rho ^ * }}}{{{\rm{d}}t}} + {\rho ^ * }\left({\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{V}}_z}} \right) = 0, $ (1)

其中,Vz是三维风矢量,ρ*是假不可压密度,定义是${\rho ^ * } = (\bar \theta {\rm{/}}\theta)\bar \rho $或者$\bar \pi = {\left[ {({R_d}{\rm{/}}{p_0}){\rho ^ * }\theta } \right]^{\frac{{{R_d}}}{{{c_v}}}}}$θ是位温。$\bar \pi $是平均无量纲气压,定义是$\bar \pi = {\left({\bar p{\rm{/}}{p_0}} \right)^{\frac{{{R_d}}}{{{c_p}}}}}$pρθ是平均状态的气压、密度和位温,仅随高度变化。p0是参考气压,取1000 hPa。Rd是干空气的比气体常数,cpcv分别是干空气的等压和等容比热容。

2.1 连续方程的推导

由Durran提出的假不可压方程(1),利用z坐标系和η坐标系的转换关系(Kasahara, 1974):

$ \frac{\partial }{{\partial z}} = \left({\frac{{\partial \eta }}{{\partial z}}} \right)\frac{\partial }{{\partial \eta }}, $ (2)
$ {\nabla _{2z}} = {\nabla _{2\eta }} - \left({{\nabla _{2\eta }}z} \right)\left({\frac{{\partial \eta }}{{\partial z}}} \right)\frac{\partial }{{\partial \eta }}, $ (3)

可以得到

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left({{\rho ^ * }\frac{{\partial z}}{{\partial \eta }}} \right) + {\nabla _{2\eta }} \cdot \left({{\rho ^ * }\frac{{\partial z}}{{\partial \eta }}{\mathit{\boldsymbol{V}}_{2z}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial \eta }}\left({{\rho ^ * }\frac{{\partial z}}{{\partial \eta }}\dot \eta } \right) = 0, $ (4)

$\partial z{\rm{/}}\partial \eta = (\partial z{\rm{/}}\partial {p_h})(\partial {p_h}{\rm{/}}\partial \eta) = - \mu {\rm{/}}\rho g$代入公式(4),可得

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left({\frac{{{\rho ^ * }}}{\rho }\mu } \right) + {\nabla _{2\eta }} \cdot \left({\frac{{{\rho ^ * }}}{\rho }\mu {\mathit{\boldsymbol{V}}_{2z}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial \eta }}\left({\frac{{{\rho ^ * }}}{\rho }\mu \dot \eta } \right) = 0, $ (5)

定义新变量μ*,令${\mu ^ * } = ({\rho ^ * }{\rm{/}}\rho)\mu $。将μ*代入公式(5),可以得到

$ \frac{\partial }{{\partial t}}{({\mu ^ * })_\eta } + {\nabla _{2\eta }} \cdot ({\mu ^ * }{\mathit{\boldsymbol{V}}_{2z}}) + \frac{\partial }{{\partial \eta }}({\mu ^ * }\dot \eta) = 0, $ (6)

公式(6)即为η坐标系中的假不可压连续方程。其中,$\eta = ({p_h} - {p_{ht}}){\rm{/}}\mu $$\mu = {p_{hs}} - {p_{ht}}$